下列公式供解题时参考：
（1）扇形弧长公式：
．
（2）一组数据的方差公式：
．
一、选择题：每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的，把所选答案的编号填写在题目后面的括号内．
1．观察下面图案，在A，B，C，D四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（ ）
2．下列事件中，必然事件是（ ）
A．中秋节晚上能看到月亮 B．今天考试小明能得满分
C．早晨的太阳从东方升起 D．明天气温会升高
3．如图1，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由
处走到
处这一过程中，他在地上的影子（ ）
Ａ．逐渐变短 Ｂ．逐渐变长
Ｃ．先变短后变长 Ｄ．先变长后变短
４．比较
的大小，正确的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
5．圆心距为6的两圆相外切，则以这两个圆的半径为根的一元二次方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：每小题3分，共30分．答案填在横线上．
6．计算
．
7．如图2，在
中，
分别是
的中点，若
，则
cm．
8．函数
的自变量
的取值范围是 ．
9．近视眼镜的度数
（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为 ．
10．不等式组
的解为 ．
11．在中国地理地图册上，连结上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图3所示．飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为 千米．
12．小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是 ．
13．将4个数
排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成
，定义
，上述记号就叫做2阶行列式．若
，则
．
14．如图4，已知
为等腰三角形纸片
的底边，
．将此三角形纸片沿
剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出中心对称图形 个．
15．如图5，有一木质圆柱形笔筒的高为
，底面半径为
，现要围绕笔筒的表面由至
（
在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是 ．
三、解答下列各题：本题有10小题，共75分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
16．本题满分6分．
计算：
．
17．本题满分6分．
在市区内，我市乘坐出租车的价格（元）与路程（km）的函数关系图象如图6所示．
（1）请你根据图象写出两条信息；
（2）小明从学校出发乘坐出租车回家用了13元，求学校离小明家的路程．
18．本题满分6分．
计算：
．
19．本题满分6分．
如图7，
是平行四边形
的对角线．
（1）请按如下步骤在图7中完成作图（保留作图痕迹）：
①分别以
为圆心，以大于
长为半径画弧，弧在两侧的交点分别为
；
②连结
分别与
交于点
．
（2）求证：
．
20．本题满分7分．
甲、乙两位同学本学年11次数学单元测验成绩（整数）的统计如图8所示：
（1）分别求他们的平均分；
（2）请你从中挑选一人参加数学“学用杯”竞赛，并说明你挑选的理由．
21．本题满分7分．
如图9，点
在以
为直径的
上，
于
，设
．
（1）求弦
的长；
（2）如果
，求
的最大值，并求出此时
的值．
22．本题满分8分．
已知二次函数图象的顶点是
，且过点
．
（1）求二次函数的表达式，并在图10中画出它的图象；
（2）求证：对任意实数
，点
都不在这个二次函数的图象上．
23．本题满分8分．
如图11，中，
，分别在上，沿
对折，使点落在上的点
处，且
．
（1）求的长；
（2）判断四边形
的形状，并证明你的结论．
24．本题满分10分．
梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．
（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你能过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；
（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．
25．本题满分11分．
如图12，直角梯形中，
，动点从点出发，沿
方向移动，动点
从点出发，在边上移动．设点移动的路程为，点移动的路程为，线段
平分梯形的周长．
（1）求与的函数关系式，并求出
的取值范围；
（2）当
时，求的值；
（3）当不在边上时，线段能否平分梯形的面积？若能，求出此时的值；若不能，说明理由．
参考答案
一、选择题：每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中有一个是正确的，把所选答案的编号填写在题目后面的括号内．
1．C； 2．C； 3．C； 4．A； 5．B．
二、填空题：每小题3分，共30分．答案填在横线上．
6．
7． 8．
9．
10．
11．
12．
13．
14．
15．
三、解答下列各题：本题有10小题，共75分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
16．本题满分6分
解：原式
············· 4分
．····················· 6分
17．本题满分6分
解：（1）在0到2km内都是5元；2km后，每增加0.625km加1元．······· 2分
（答案不唯一）
（2）设射线的表达式为
．依题意，得
解得：
．得
．········· 5分
将
代入上式，得
．
所以小明家离学校7km．············· 6分
18．本题满分6分．
解：原式
············ 4分
················ 5分
．·················· 6分
19．本题满分6分．
（1）作图如右·············· 2分
（2）证明：根据作图知，是的垂直平分线，··· 3分
所以
，且
．
因为是平行四边形，所以
．··· 4分
所以
．··············· 5分
所以．··················· 6分
20．本题满分7分．
解：（1）
．
．··········· 4分
（2）应选甲同学参加比赛．因为甲超过平均分的次数比乙多，比乙更容易获得高分（也可以从众数等方面去说明）．······· 7分
（选乙时，分析图形直接得出或通过计算方差等说明乙的稳定性比甲好，也给满分）
21．解：（1）连结
，········ 2分
所以
，······ 3分
得
．（也可以根据
求解）·········· 4分
（2）由于
，所以
，·········· 5分
得
，所以的最大值为25，此时
．········ 7分
22．本题满分8分．
解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为
，······ 2分
又点在它的图象上，可得
，解得
．········ 3分
所求为
．············ 4分
令
，得
画出其图象如右．··············· 5分
（2）证明：若点
在此二次函数的图象上，
则
．
得
．·············· 7分
方程的判别式：
，该方程无解．
所以原结论成立．············· 8分
23．本题满分8分．
解：（1）因为
，所以是直角三角形，
，
又
，所以
··· 2分
由
，得
，·········· 3分
又
，所以
，所以
，··········· 4分
所以
，得
．············· 5分
（2）四边形是菱形．············· 6分
证明：由（1）知，
，所以是平行四边形，······· 7分
又
，所以四边形是菱形．·············· 8分
24．本题满分10分．
解：（1）
（分钟），
，
不能在限定时间内到达考场．·········· 4分
（2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．····· 5分
先将4人用车送到考场所需时间为
（分钟）．
0.25小时另外4人步行了1.25km，此时他们与考场的距离为
（km）····· 7分
设汽车返回
后先步行的4人相遇，
，解得
．
汽车由相遇点再去考场所需时间也是
．········· 9分
所以用这一方案送这8人到考场共需
．
所以这8个个能在截止进考场的时刻前赶到．··········· 10分
方案2：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点
的处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场．··········· 6分
由处步行前考场需
，
汽车从出发点到处需
先步行的4人走了
，
设汽车返回
（h）后与先步行的4人相遇，则有
，解得
，········· 8分
所以相遇点与考场的距离为
．
由相遇点坐车到考场需
．
所以先步行的4人到考场的总时间为
，
先坐车的4人到考场的总时间为
，
他们同时到达，则有
，解得
．
将代入上式，可得他们赶到考场所需时间为
（分钟）．
．
他们能在截止进考场的时刻前到达考场．············· 10分
其他方案没有计算说明可行性的不给分．
25．本题满分11分．
解：（1）过作
于
，则
，可得
，
所以梯形的周长为18．··········· 1分
平分的周长，所以，········· 2分
因为
，所以
，
所求关系式为：
．········ 3分
（2）依题意，只能在边上，
．
，
因为，所以
，所以
，得········· 4分
，即
，
解方程组
得
．············ 6分
（3）梯形的面积为18．·········· 7分
当不在边上，则
，
（
）当时，在边上，
．
如果线段能平分梯形的面积，则有
····· 8分
可得：
解得
（
舍去）．······· 9分
（
）当
时，点在
边上，此时
．
如果线段能平分梯形的面积，则有
，
可得
此方程组无解．
所以当
时，线段能平分梯形的面积．····· 11分
