数学核心素养的内涵、评价及培养
目前对数学核心素养的研究主要集中在以下几方面：数学核心素养的内涵及构成要素；数学核心素养的测量和评价；数学核心素养的培养。
一、数学核心素养的内涵及构成要素
1.数学核心素养的内涵和缘起
《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》指出：“数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐渐形成的。数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力。高中阶段数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体。”面对未来，教育应该赋予学生的到底是什么？从上世纪下半叶开始，联合国教科文组织、欧盟、国际经合组织等机构即开展了对此问题的相关研究，美国、日本等国家相继跟进，并提出了各自的“核心素养”结构模型，虽然素养的具体指标不尽相同，但都是在回答相同的问题：21世纪培养的学生究竟应该从学校教育中获得哪些最为重要的知识、能力以及情感态度，才能成功地融入不可预知的未来社会，才能在满足个人自我实现需要的同时，成为社会发展的推动者？我国在借鉴国际经验的同时，结合本国实际，建构了中国学生发展核心素养指标体系，“核心素养”被定义为“学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”。从价值取向上看，它反映了“学生终身学习所必需的素养与国家、社会公认的价值观”；从指标选取上看，它既注重学科基础，也关注个体适应未来社会生活和个人终身发展所必备的素养。
和“四基”相比，核心素养的课程逻辑超越了知识本位的课程观，力图改变现有课程过于强调学科体系逻辑、课程标准过于重视内容标准、学科教学过于强调知识传授的倾向，从“课程育人”的角度回答“育人为本”的问题。按照这一逻辑，在回答“学什么”之前，更应该思考的是，学生在学习了各学科课程后，到底留下了什么？ 因此，在新一轮高中课程标准修订的时候，每门课程必须厘清“本学科对学生成长的特殊贡献是什么、具体内涵如何解构”等问题。正是在此背景下，数学核心素养应运而生。
2.正确理解四组关系
从上世纪80年代以来，数学教育目标经历了素质教育、“三维目标”、“四基”、数学核心素养等几个阶段。一路走来，是“玩文字游戏”，还是我们对数学教育目标的认识在一步步升华？要准确理解数学核心素养，必须弄清以下四组关系：
（1）数学核心素养与素质教育的关系
有观点认为：尽管“二者在实质上高度一致”，都是培养全面发展的人，但“素质”倾向于“事物本来的性质、人的本质”，而“素养”更强调人的后天养成，故“核心素养”是回归教育改革的原点，倡导教、学、评的一体化，数学核心素养进一步关注学生的数学潜能，是可全面提高的数学素质。可见核心素养解释了素质教育的内涵，使素质教育有了“抓手”，落在实处。
（2）数学核心素养与“三维目标”的关系
知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的“三维目标”在数学课程中具体化为知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个课程总目标，数学教育以此为可测点，践行面向全体、尊重差异、主动参与、体验成功的策略，这与学生数学核心素养发展的目标是一致的。因此，数学核心素养在“三维目标”基础上生成，实现了“三维目标”，也就实现了学生数学核心素养发展目标。
（3）数学核心素养与“四基”的关系
数学核心素养是六个：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，其中前三个就是数学基本思想，也是传承，后三个是传统的数学能力。因此，基于“四基”的数学教学也是基于数学核心素养的数学教学。
（4）数学核心素养与十大“核心词”
《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了十个核心词：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。数学核心素养根植于十大“核心词”，与之一脉相承，但二者又不能完全等同。数学核心素养是对十大核心词的进一步浓缩和概括。
3.数学核心素养的表征
数学核心素养可从智力因素和非智力因素两方面进行观测。在智力因素上表现为数学的视角观察、数学的方法思考、数学的语言表达。数学的视角观察是指学生面对生活现象时，会自觉运用数学的眼光观察，敏锐捕捉其中的数学信息，发现数学问题；数学的方法思考是指提出数学问题后，能有逻辑地思考解决问题的步骤，能自觉回想学过的数学方法，提出建议并尝试解决；数学的语言表达是指问题解决后能有条理地陈述解决问题的思路，同时会倾听他人观点，质疑不同意见，进行有效的数学交流。在非智力上表现为积极的数学情感。（参见“周淑红，王玉文.小学数学核心素养的特质与建构[J].数学教育学报，2017（3）：57-61”）
二、数学核心素养的测量和评价
1.课程标准框架
对数学核心素养的测量和评价，首先面临两个必须解决的问题：一是确定数学核心素养的成分；二是确定数学核心素养的水平。《高中数学课程标准（征求意见稿）》解决了这两个问题，提出数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个要素，并对每一种素养作了三个水平的划分：
（1）数学核心素养的内涵与表现
（2）数学核心素养水平划分与描述
每个数学核心素养水平的阐述，都涉及情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思四个方面。
情境与问题。情境包括：现实情境、数学情境、科学情境，每种情境可以分为熟悉的、关联的、综合的；问题是指情境中的问题，从学生认识的角度分为：简单的问题、较为复杂的问题、复杂的问题。这些层次都是构成核心素养水平划分的基础。
知识与技能主要是指能够体现相应数学核心素养的知识、技能，层次可以分为了解、理解、掌握、运用以及经历、体验、探索。
思维与表达、交流与反思都是数学核心素养的具体体现，是学生在具有情境的数学活动中逐渐养成、表现出来的，是数学基本思想的感悟，是数学基本活动经验的积累。
如对“数学抽象”作了如下三个水平的划分：
2.知识、素养关系框架
喻平教授指出：《高中数学课程标准（征求意见稿）》给出的数学核心素养水平划分是针对高中学生三种不同层次的要求界定的，即分为高中毕业水平、高考水平、拓展水平（即准备参加高校自主招生的学生要达到的水平）。显然，这种水平划分对日常的学习评价没有直接的指导意义。进而，喻平教授根据“数学核心素养的生成源于知识，而知识理解、知识迁移和知识创新既反映了学习的三种水平，又蕴含由学习转化而来的数学核心素养形成的三种水平”，为学生数学核心素养的评价提供了如下的一个理论框架（参见“数学核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017（2）：19-23”）：
喻平教授在另一项关于初中生数学核心素养发展的研究中，对每一种素养作了四个水平的划分（参见“基于学业水平质量监测的初中生数学核心素养发展状况调查[J].数学教育学报，2017（1）：7-13”）。如对“数学运算”作了如下四个水平的划分（A水平最高，D水平最低）：
三、数学核心素养的培养
1.数学活动是学生数学核心素养发展的载体
数学教学是数学活动的教学。学生在各种数学活动中生成、拓展、提升与交流数学活动经验的过程，同时也是他们获得数学的基础知识、基本技能与基本思想的过程。基础知识和基本技能形成了学生的知识系统，而基本活动经验形成的是经验系统，两个系统有机结合、相互促进才能构成完整的数学知识结构。数学活动是形成这个结构的纽带。追求数学的严谨性，使现代数学逐渐走向了符号化、形式化和公理化，但数学的教学过程却应当反其道而行之，给学生创造直观思维的机会，给学生的“悟”留有充分的时间和空间；虽然概念的表达是符号的，但对概念的认识应当是有具体背景的；虽然证明的过程是形式的，但对证明的理解应当是直观的；虽然逻辑的基础是基于公理的，但思维的过程应当是归纳的。为了实现这样的教学过程，就要求教师在数学教学活动中，更多地关心学生的思维过程，抓住数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的问题，启发学生独立思考或与他人进行有价值的讨论，让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的思想，积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养。（参见“刘祖希.访史宁中教授：谈数学基本思想、数学核心素养等问题[J].数学通报，2017（5）：1-5”）
2.数学知识技能、思想方法和情感态度是数学核心素养发展的基础
“四基”中的基础知识和基本技能对应着“三维目标”中的“知识与技能”维度；基本思想和基本活动经验对应着“三维目标”中的“过程与方法”维度。教师在“双基”教学基础上，通过融入基本思想和基本活动经验的教学，将更好地促进学生对基础知识和基本技能的理解、掌握和运用，更好感悟数学的基本思想，积累数学的基本活动经验，执迷数学的神奇与魅力，体会数学的价值，获得成功的体验，提高学习的兴趣，增强学习的信心，从而促进“三维目标”中“情感与态度”目标的达成。（参见“曾峥、杨豫晖、武金艳.数学‘四基’的研究现状及展望”[J].数学教育学报，2017（2）：66-69”）而这几方面又密切联系、相互支撑，构成数学核心素养形成的物质基础和精神基础。
3.数学思考是数学核心素养形成的关键
数学思考是促进数学知识技能、思想方法和情感态度进一步提升为数学素养的内因和必要条件。教师需要挖掘数学教学内容中的思维价值，尽可能在每一节课中，设计利于放大这些思维价值的数学活动，在数学教学过程中，通过学生的活动，将这种“思维形式”内化为自己的“思维习惯”。教师要善于设计好的问题作为活动进行的纽带，真正把学生的思维调动起来，从而达到通过数学教会学生思考的目的。
